Question

4．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且AP=3，CP=2，BP=1，求∠BPC得度数．（提示：把△CAP绕点C逆时针旋转90°到△CBP′，证明△BPP′为Rt△）

Answer 1

分析 首先把△CAP绕点C逆时针旋转90°到△CBP′，可得△CPP′是等腰直角三角形，继而求得PP′的长，然后由勾股定理的逆定理可得△BPP′是直角三角形，继而求得答案．

解答 解：把△CAP绕点C逆时针旋转90°到△CBP′，
则∠PCP′=∠ACB=90°，PC=P′C，BP′=AP=3，
∴∠CPP′=45°，PP′=$\sqrt{2}$CP=2$\sqrt{2}$，
在△BPP′中，BP²=1²=1，BP′²=3²=9，PP′²=（2$\sqrt{2}$）²=8，
∴BP²+BP′²=PP′²，
∴∠BPP′=90°，
∴∠BPC=∠CPP′+∠BPP′=135°．

点评 此题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．