Question

15．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交$\widehat{BC}$于D．
（1）根据题目给出的信息，不再添加字母，请写出五个不同的正确结论；
（2）若BC=16，ED=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理可得BE=CE，$\widehat{BD}$=$\widehat{DC}$，∠BED=90°，根据圆周角定理可得AC⊥CB，根据平行线的判定可得AC∥DO，根据勾股定理可得EO²+BE²=BO²；
（2）首先根据垂径定理可得BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=8，然后设⊙O的半径为R，则EO=DO-DE=R-4，利用勾股定理可得方程（R-4）²+8²=R²，再解即可．

解答 解：（1）BE=CE，$\widehat{BD}$=$\widehat{DC}$，∠BED=90°，∠BOD=∠A，AC∥DO，AC⊥CB，EO²+BE²=BO²；

（2）∵DO⊥BC，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=8，
设⊙O的半径为R，则EO=DO-DE=R-4，
在Rt△OEB中，由勾股定理得：EO²+BE²=BO²，
即（R-4）²+8²=R²，
解得：R=10，
∴⊙O的半径为10．

点评 此题主要考查了垂径定理，以及勾股定理的应用，关键是掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．