Question

16．直线AB过点A（10，0），B（0，10）
（1）如图1，函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与直线AB相交于C，D两点，若S_△OCA=$\frac{1}{8}$S_△OCD，求k的值；
（2）在（1）的条件下，将△OCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向平移，如图2，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系（0＜t＜10）

Answer 1

分析 （1）根据点A、点B的坐标，待定系数法可求出直线AB的解析式，根据双曲线的对称性就可以求出S_△OBD=S_△OAC的值，再由三角形的面积公式就可以求出其值；
（2）根据平移的性质可以求得△O′C′D′∽△O′CD，再由相似三角形的性质就可以求出就可以求出S_{△O′C′D′}和S_△O′CD的面积关系，从而可以求出S与运动时间t之间的函数关系式．

解答 解：（1）设AB的解析式为y=kx+b，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=0}\\{b=10}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴y=-x+10．
∵S_△OCA=$\frac{1}{8}$S_△OCD，
∴设S_△OCD=8a．则S_△OAC=a，
∴S_△OBD=S_△OAC=a，
∴S_△AOB=10a，
∴10a=50，
∴a=5，
∴S_△OAC=5，
∴$\frac{1}{2}$OA•y=5，
∴y=1．
1=-x+10，
x=9
∴C（9，1），
∴1=$\frac{k}{9}$，
∴k=9

（2）移动后重合的部分的面积是△O′C′D′，t秒后点O的坐标为O′（t，0），

O′A=10-t，O′E=10．
∵C′D′∥CD，
∴△O′C′D′∽△O′CD，
∴$\frac{O′D′}{O′D}$=$\frac{O′A}{O′E}$=$\frac{10-t}{10}$，
∴$\frac{{S}_{△O′C′D′}}{{S}_{△O′CD}}$=（$\frac{O′D′}{O′D}$）²=（$\frac{10-t}{10}$）²，
S=40•（$\frac{10-t}{10}$）²，
∴S=$\frac{2}{5}$t²-8t+40（0＜t＜10）．

点评 本题考查了反比例函数的图象的对称性的运用，相似三角形的相似比与面积之比的关系的运用，动点问题直线问题的运用，解答时求出函数的解析式及交点坐标是解答本题的关键．