Question

11．（1）如图1，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．
（2）如图2，在△ABC中，AB=2，AC=1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）求出△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）求出△CAB是直角三角形和求出AD⊥BC，根据三角形面积公式求出即可．

解答 （1）证明：∵分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F，
∴∠E=∠CFD=90°，
∵AD是中线，
∵BD=CD，
在△BED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠CDF}\\{∠E=∠CFD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BE=CF；

（2）解：∵AC是圆的切线，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵AB为圆的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}$BC×AD=$\frac{1}{2}$AC×BC，
$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×AD=$\frac{1}{2}$×1×2，
解得：AD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了圆周角定理，勾股定理，全等三角形的性质和判定，切线的性质的应用，能求出△BED≌△CFD和△ABC是直角三角形是解此题的关键．