Question

15．如图，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴正半轴上，顶点B、C在第一象限，OA=2，∠AOC=60°，点D在边AB上，将四边形ODBC沿直线OD翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面内的B′和C′处，且∠C′DB′=60°，某正比例函数图象经过B′，则这个正比例函数的解析式为（　　）

• A． y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x
• B． y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x$
• C． y=-$\frac{1}{2}x$
• D． y=-x

Answer 1

分析 连接AC，求出△BAC是等边三角形，推出AC=AB，求出△DC′B′是等边三角形，推出C′D=B′D，得出CB=BD=B′C′，推出A和D重合，连接BB′交x轴于E，求出AB′=AB=2，∠B′AE=60°，求出B′的坐标即可求得正比例函数的解析式．

解答 解：连接AC，
∵四边形OABC是菱形，
∴CB=AB，∠CBA=∠AOC=60°，
∴△BAC是等边三角形，
∴AC=AB，
∵将四边形OABC沿直线0D翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面的点B′和C′处，
∴BD=B′D，CD=C′D，∠DB′C′=∠ABC=60°，
∵∠B′DC′=60°，
∴∠DC′B′=60°，
∴△DC′B′是等边三角形，
∴C′D=B′D，
∴CB=BD=B′C′，
即A和D重合，
连接BB′交x轴于E，
则AB′=AB=2，∠B′AE=180°-（180°-60°）=60°，
在Rt△AB′E中，∠B′AE=60°，AB′=2，
∴AE=1，B′E=$\sqrt{3}$，OE=2+1=3，
即B′的坐标是（3，-$\sqrt{3}$），
设正比例函数的解析式为y=kx，
∵正比例函数图象经过B′，
∴-$\sqrt{3}$=3k，
∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选B．

点评 本题考查了折叠性质，菱形性质，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，有一定的难度．