Question

7．如图，已知OC平分∠AOB，CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，EF交OC于D，则下列结论：
①OE=OF，②OD=CD，③EF⊥OC，④∠OEF=∠CEF，⑤图中共有3对全等三角形；其中正确的有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 ①根据角平分线性质得：CE=CF，再证明Rt△OCF≌Rt△OCE，可以得出OE=OF；
②OD与CD不一定相等；
③根据垂直平分线的逆定理得：OC是EF的垂直平分线，则EF⊥OC
④EF不是∠OEC的平分线，所以∠OEF≠∠CEF；
⑤Rt△OCF≌Rt△OCE，同理得：Rt△ODF≌Rt△ODE，Rt△CDF≌Rt△CDE；结论正确．

解答 解：①如图，∵OC平分∠AOB，CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
∴CE=CF，
在Rt△OCF和Rt△OCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△OCF≌Rt△OCE（HL），
∴OE=OF；
所以①正确；
②OD与CD不一定相等；所以②不正确；
③∵CE=CF，
∴C是EF垂直平分线上的点，
∵OE=OF，
∴O是EF垂直平分线上的点，
∴OC是EF的垂直平分线，
∴EF⊥OC
所以③正确；
④∵CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE
∵OE=OF
∴∠OEF=∠OFE
而∠OEF与∠CEF不一定相等，所以④不正确；
⑤由①可知：Rt△OCF≌Rt△OCE，
同理得：Rt△ODF≌Rt△ODE，Rt△CDF≌Rt△CDE；
所以图中共有3对全等三角形；
所以⑤正确；
综上所述，①③⑤正确，正确的结论一共有3个；
故选B．

点评 本题是三角形的综合题，考查了角平分线、全等三角形的性质、垂直平分线的性质和判定；本题难度不大，属于常考题型；根据角平分线的性质证明边相等，为直角三角形全等创造条件；此题应用了直角三角形特殊的全等判定HL；在证明EF与OC垂直时，可以利用垂直平分线的逆定理，也可以利用三角形全等来证明．