Question

3．如图，点A₁的坐标为（0，1），A₂在x轴的负半轴上，且∠A₁A₂O=30°，过点A₂作A₂A₃⊥A₁A₂，垂足为A₂，交y轴于点A₃；过点A₃作A₃A₄⊥A₂A₃，垂足为A₃，交x轴于点A₄；过点A₄作A₄A₅⊥A₃A₄，垂足为A₄，交y轴于点A₅；…按此规律进行下去，则点A₂₀₁₇的坐标为（0，3¹⁰⁰⁸）．

Answer 1

分析 由∠A₁A₂O=30°结合点A₁的坐标即可得出点A₂的坐标，由A₂A₃⊥A₁A₂结合点A₂的坐标即可得出点A₃的坐标，同理找出点A₄、A₅、A₆、…的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A_4n+1（0，（$\sqrt{3}$）⁴ⁿ），A_4n+2（（-$\sqrt{3}$）⁴ⁿ⁺¹，0），A_4n+3（0，-（$\sqrt{3}$）⁴ⁿ⁺²），A_4n+4（（$\sqrt{3}$）⁴ⁿ⁺³，0）（n为自然数）”，依此规律结合2017=504×4+1即可得出点A₂₀₁₇的坐标，此题得解．．

解答 解：∵∠A₁A₂O=30°，点A₁的坐标为（0，1），
∴点A₂的坐标为（-$\sqrt{3}$，0）．
∵A₂A₃⊥A₁A₂，
∴点A₃的坐标为（0，-3）．
同理可得：A₄（3$\sqrt{3}$，0），A₅（0，9），A₆（-9$\sqrt{3}$，0），…，
∴A_4n+1（0，（$\sqrt{3}$）⁴ⁿ），A_4n+2（（-$\sqrt{3}$）⁴ⁿ⁺¹，0），
A_4n+3（0，-（$\sqrt{3}$）⁴ⁿ⁺²），A_4n+4（（$\sqrt{3}$）⁴ⁿ⁺³，0）（n为自然数）．
∵2017=504×4+1，
∴A₂₀₁₇（0，（$\sqrt{3}$）²⁰¹⁶），
即A₂₀₁₇（0，3¹⁰⁰⁸），
故答案为（0，3¹⁰⁰⁸）．

点评 本题考查了规律型中点的坐标以及含30度角的直角三角形，根据点的变化找出变化规律，是解题的关键．