Question

13．如图，O为坐标原点，A、B是函数y=$\frac{9\sqrt{2}}{x}$（x＞0）的图象上的两点，过A作AC⊥y轴于C，若AB⊥OA，且△OAB与△ACO相似，则点B的坐标为（6，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 根据相似三角形的性质得到∠AOC=∠BOA，得到OA是∠BOC的平分线，延长BA交y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，得到AC∥BE，设A（a，$\frac{9\sqrt{2}}{a}$），根据射影定理得到CD=$\frac{{a}^{3}}{9\sqrt{2}}$，根据三角形的中位线的性质得到B（2a，$\frac{9\sqrt{2}}{a}$-$\frac{{a}^{3}}{9\sqrt{2}}$），列方程即可得到结论．

解答 解：∵△OAB∽△ACO，
∴∠AOC=∠BOA，
∴OA是∠BOC的平分线，
延长BA交y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，
∵AC⊥OC，
∴AC∥BE，
∵AB⊥OA，
∴AB=AD，
设A（a，$\frac{9\sqrt{2}}{a}$），
∴AC²=CD•OA，
∴CD=$\frac{{a}^{3}}{9\sqrt{2}}$，
∴CE=CD=$\frac{{a}^{3}}{9\sqrt{2}}$，
∴OE=$\frac{9\sqrt{2}}{a}$-$\frac{{a}^{3}}{9\sqrt{2}}$，
BE=2AC=2a，
∴B（2a，$\frac{9\sqrt{2}}{a}$-$\frac{{a}^{3}}{9\sqrt{2}}$），
∴2a（$\frac{9\sqrt{2}}{a}$-$\frac{{a}^{3}}{9\sqrt{2}}$）=9$\sqrt{2}$，
解得：a=3，（负值舍去），
∴点B的坐标为（6，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）．
故答案为：（6，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键．