Question

12．已知关于x的一元二次方程：k²x²+（1-2k）x+1=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为x₁、x₂，且满足|x₁|+|x₂|=2x₁x₂-3，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到∴△=（1-2k）²-4k²＞0且k²≠0，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）利用根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{2k-1}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{1}{{k}^{2}}$，加上k＜$\frac{1}{4}$且k≠0，则可判断x₁＜0，x₂＜0，所以-x₁-x₂=2x₁x₂-3，即-（x₁+x₂）=2x₁x₂-3．则$-\frac{2k-1}{k^2}=\frac{2}{k^2}-3$，然后解方程求出k即可得到满足条件的k的值．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程k²x²+（1-2k）x+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=（1-2k）²-4k²＞0且k²≠0，
解得k＜$\frac{1}{4}$且k≠0，
∴k的取值范围是k＜$\frac{1}{4}$且k≠0；
（2）∵原方程的两个实数根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=$\frac{2k-1}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{1}{{k}^{2}}$，
而k＜$\frac{1}{4}$且k≠0；
∴x₁+x₂=$\frac{2k-1}{{k}^{2}}$＜0，x₁x₂=$\frac{1}{{k}^{2}}$＞0，
∴x₁＜0，x₂＜0，
∵|x₁|+|x₂|=2x₁x₂-3，
∴-x₁-x₂=2x₁x₂-3，即-（x₁+x₂）=2x₁x₂-3．
∴$-\frac{2k-1}{k^2}=\frac{2}{k^2}-3$，
整理得 3k²-2k-1=0，
解得：k₁=1，${k_2}=-\frac{1}{3}$．
又∵$k＜\frac{1}{4}$且k≠0，
∴k₁=1不合题意，舍去．
经检验，${k_2}=-\frac{1}{3}$是方程$-\frac{2k-1}{k^2}=\frac{2}{k^2}-3$的解．
∴k的值为$-\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．