Question

2．已知点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），作等边△ABC，求点C的坐标．

Answer 1

分析 根据勾股定理可求AB=2$\sqrt{5}$，作线段AB的垂直平分线，交线段AB于D，以B点为圆心，2$\sqrt{5}$为半径画弧，与线段AB的垂直平分线交于C₁、C₂，连接AC₁、AC₂，在直角三角形BC₁D中，解直角三角形得：C₁D，C₂D，再根据两点间的距离公式可求点C的坐标．

解答 解：作线段AB的垂直平分线，交线段AB于D，以B点为圆心，2$\sqrt{5}$为半径画弧，与线段AB的垂直平分线交于C₁、C₂，连接AC₁、AC₂，
AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
设直线AB的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
故直线AB的解析式为y=-2x+4，
D点的坐标为（1，2），
设直线DC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b₁，则$\frac{1}{2}$+b₁=2，
解得b₁=$\frac{3}{2}$，
故直线DC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
设点C的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$），则（m-1）²+（$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$-2）²=（2$\sqrt{5}$÷2×$\sqrt{3}$）²，
解得m₁=1+2$\sqrt{3}$，m₂=1-2$\sqrt{3}$
当m₁=1+2$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$=2+$\sqrt{3}$，
当m₂=1-2$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$=2-$\sqrt{3}$．
故点C的坐标为（1+2$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$），（1-2$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的性质，勾股定理，综合性较强，难度适中，找出点D的位置是解题的关键．