Question

7．已知关于x的方程（m²-m）x²-2mx+1=0（i）与x²+2$\sqrt{3}$x+m=0（ii）都有两个不相等的实数根，且m为整数．若a是方程（m²-m）x²-2mx+1=0的一个根，求代数式：①$\frac{1}{2}$a²-a+1=0；②2a²-3a-$\frac{2{a}^{2}+1}{4}$+3；③2a²-2a+$\frac{2a}{4a-1}$的值．

Answer 1

分析 先由关于x的方程（m²-m）x²-2mx+1=0（i）与x²+2$\sqrt{3}$x+m=0（ii）都有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义及根的判别式的意义求出m的取值范围是0＜m＜3，且m≠1，又由m为整数，得到m=2，再根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入方程，得出2a²-4a+1=0，则2a²-4a=-1，2a²=4a-1，2a²+1=4a．分别代入所求代数式，即可求解．

解答 解：∵关于x的方程（m²-m）x²-2mx+1=0有两个不相等的实数根，
∴m²-m≠0，且△=（-2m）²-4（m²-m）＞0，
解得，m＞0，且m≠1；
∵关于x的方程x²+2$\sqrt{3}$x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2$\sqrt{3}$）²-4m＞0，
解得，m＜3，
∴0＜m＜3，且m≠1，
又∵m为整数，
∴m=2，
∴方程（i）即为2x²-4x+1=0．
∵a是方程2x²-4x+1=0的一个根，
∴2a²-4a+1=0，
∴2a²-4a=-1，2a²=4a-1，2a²+1=4a．
①$\frac{1}{2}$a²-a+1=$\frac{1}{4}$（2a²-4a）+1=$\frac{1}{4}$×（-1）+1=$\frac{3}{4}$；
②2a²-3a-$\frac{2{a}^{2}+1}{4}$+3=4a-1-3a-$\frac{4a}{4}$+3=2；
③2a²-2a+$\frac{2a}{4a-1}$=4a-1-2a+$\frac{2a}{2{a}^{2}}$=2a-1+$\frac{1}{a}$=$\frac{2{a}^{2}-a+1}{a}$=$\frac{4a-1-a+1}{a}$=3．

点评 本题主要考查了一元二次方程的解的定义与根的判别式．解答此题的关键是求出m=2．