Question

15．如图，抛物线y=ax²+bx+4交y轴于点C，交x轴于点A，B（A在B的左边），顶点为E，对称轴直线EF交x轴于点F，CD∥x轴交抛物线于点D，连结BD交EF于点G．若点B（2，0），且△BCG恰为直角三角形，则EF的长为$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 连接AG，由二次函数的性质得出A、G、C三点共线，且AF=BF，设抛物线的对称轴为x=m，得出OA=-2m+2，AB=-2m+4，证明△AOC∽△COB，得出OC²=OA•OB，得出方程，解方程得出A的坐标，求出二次函数的解析式，化成顶点式，即可得出结果．

解答 解：连接AG，如图所示：
由二次函数的性质得：A、G、C三点共线，且AF=BF，
设抛物线的对称轴为x=m，
∵B（2，0），
∴OF=-m，AF=BF=-m+2，
∴OA=-2m+2，AB=-2m+4，
∵抛物线y=ax²+bx+4交y轴于点C，
∴C（0，4），
∴OC=4，
若△BCG为直角三角形，则∠BCG=90°，
∵OC⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA：OC=OC：OB，
∴OC²=OA•OB，即4²=2（-2m+2），
解得：m=-3，
∴OA=8，
∴A（-8，0），
把A（-8，0），B（2，0）代入抛物线y=ax²+bx+4得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+4=0}\\{64a-8b+4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{4}$（x+3）²+$\frac{25}{4}$；
∴EF的长为$\frac{25}{4}$；
故答案为：$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数的解析式；熟练掌握二次函数的性质，证明三角形相似求出A的坐标是解决问题的关键．