如图所示.在平面直角坐标系中.直角梯形ABCO的边OC落在x轴上.且AB∥OC.BC⊥OCAB=4.BC=6.OC=8.正方形ODEF的两边分别落在坐标轴上.且它的面积等于直角梯形ABCO的面积．将正方形ODEF沿x轴的正方向平移.设它与梯形的重叠部分的面积为S．(1)分析与计算:求正方形ODEF的边长,(2)操作与求解:①正方形ODEF平移过程中.通过操作.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．如图所示，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCO的边OC落在x轴上，且AB∥OC，BC⊥OCAB=4，BC=6，OC=8，正方形ODEF的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形ABCO的面积．将正方形ODEF沿x轴的正方向平移，设它与梯形的重叠部分的面积为S．
（1）分析与计算：求正方形ODEF的边长；
（2）操作与求解：
①正方形ODEF平移过程中，通过操作、观察，试判断S（S＞0）的变化情况是C．
A、逐渐增大 B、逐渐减少 C、先增大后减少 D、先减少后增大
②当正方形ODEF顶点O移动到点C时，求S的值．
（3）探究与归纳：
设正方形ODEF顶点O向右移动的距离为x，求重叠部分面积S与x的函数关系．

分析（1）根据梯形及正方形的面积公式和它们的面积相等，可求出正方形的边长；
（2）①由图形的移动可知，从OF出发，重叠部分面积逐渐增大，当OF和BC重合时面积最大，继续移动时，面积将减小；②求重叠部分面积时，可将其转化为S_梯形AMDG+S_矩形AGCB．
（3）依据题意将图形平移，由于移动的距离不同，分情况讨论，重叠部分为三角形、五边形和矩形：①利用三角形的面积公式列等式；②根据梯形面积公式列等式；③④利用分割法将五边形化为三角形和梯形解答；⑤根据矩形面积公式解答．

解答解：（1）∵BC⊥OC，AB=4，BC=6，OC=8，
∴梯形ABCO的面积=$\frac{1}{2}$（4+8）×6=36，
∵正方形的面积等于直角梯形ABCO的面积，
∴S_ODEF=S_ABCD=36，
设正方形的边长为x，
∴x²=36，
解得x=6或x=-6（舍去），
∴正方形ODEF的边长为6；

（2）①由图可得，将正方形ODEF沿x轴的正方向平移，它与梯形的重叠部分的面积先增大后减少，
故答案为：C；
②如图所示，当正方形ODEF顶点O移动到点C时，

设AO与DE交于点G，
∵CD=6，OC=8，BE=6，AB=4，
∴OD=8-6=2，AE=6-4=2，
∴AE=OD，
在△AEG和△ODG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠ODG}\\{∠EGA=∠DGO}\\{AE=OD}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△ODG（AAS），
∴EG=DG=$\frac{1}{2}$DE=3，
∴△AEG面积=$\frac{1}{2}$AE×EG=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
∴正方形与梯形的重叠部分的面积=36-3=33，
即S=33；

（3）①当0≤x＜4时，重叠部分为三角形，如图①，

由图可得△OMO'∽△OAN，
∴$\frac{MO'}{6}$=$\frac{x}{4}$，
∴MO'=$\frac{3}{2}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$OO'×MO'=$\frac{1}{2}$x×$\frac{3}{2}$x=$\frac{3}{4}{x}^{2}$；
②当4≤x＜6时，重叠部分为直角梯形，如图②，

CO'=8-x，
S=36-（8-x）×6=6x-12；
③当6≤x＜8时，重叠部分为五边形，如图③，

OD=x-6，
∴MD=$\frac{3}{2}$（x-6），AF=x-4，AE=6-（x-4），
∴S=$\frac{1}{2}$[$\frac{3}{2}$（x-6）+6]×[6-（x-4）]+（x-4）×6
=-$\frac{3}{4}$x²+15x-39；
④当8≤x＜10时，重叠部分为五边形，如图④，

S=S_AFO'DM-S_BFO'C=$\frac{1}{2}$[（x-4）+x]×6-$\frac{1}{2}$×（x-6）×$\frac{3}{2}$（x-6）-（x-8）×6=-$\frac{3}{4}$x²+9x+9；
⑤当10≤x≤14时，重叠部分为矩形，如图⑤，

S=[8-（x-6）]×6=84-6x．