Question

根据市场调查，生猪的价格y（元/千克）与养殖数量x（头）之间满足如图1所示的一次函数关系，而养殖成本z（元/千克）与养殖数量x（头）之间满足如图2所示的一次函数关系．
（1）试确定y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）若该养殖场的生猪养殖能力不超过2000头，每头猪的平均重量按100千克计算，要使养殖的总收入w（元）最大，养殖数量x（头）应为多少？并求出养殖的总收入w的最大值．

Answer 1

考点：一次函数的应用

专题：

分析：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，根据图1可知，直线y=kx+b经过（0，8），（100，9），将两点的坐标代入，运用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；同理求出z与x之间的函数关系式；
（2）根据总收入=生猪的总售价-养殖总成本列出w与x的函数解析式，再根据函数的性质结合自变量的取值范围即可求解．

解答：解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
把（0，8），（100，9）代入，
得

b=8 100k+b=9

，
解得

k= 1 100 b=8

．
所以y与x之间的函数关系式为y=

1

100

x+8；
设z与x之间的函数关系式为y=mx+n，
把（0，6），（200，5）代入，
得

n=6 200m+n=5

，
解得

m=- 1 200 n=6

．
所以z与x之间的函数关系式为y=-

1

200

x+6；

（2）由题意，得w=100x（y-z）=100x[（

1

100

x+8）-（-

1

200

x+6）]=

3

2

x²+200x=

3

2

（x+

200

3

）²-

20000

3

，
∵

3

2

＞0，开口向上，
∴当x＞-

200

3

时，w随x的增大而增大，
∵0≤x≤2000，
∴x取最大值2000时，w有最大值，此时w=

3

2

×2000²+200×2000=6400000．

点评：本题考查的是一次函数的应用，此类题是近年中考中的热点问题．涉及到运用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质，注意利用函数求最值时，需结合自变量的取值范围．