Question

△ABC中，∠C＞∠B，AT平分∠BAC交BC于点T，试证明：BT-CT＜AB-AC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,三角形三边关系

专题：证明题

分析：在AB上截取AD=AC，连结DT，如图，根据角平分线定义得到∠DAT=∠CAT，则可根据“SAS”判断△ADT≌△ACT，得到TD=TC，在△BDT中，根据三角形三边的关系得到BT-DT＜BD，加上BD=AB-AD=AB-AC，DT=CT，所以有BT-CT＜AB-AC．

解答：证明：在AB上截取AD=AC，连结DT，如图，
∵AT平分∠BAC，
∴∠DAT=∠CAT，
在△ADT和△ACT中，

AD=AC ∠DAT=∠CAT AT=AT

，
∴△ADT≌△ACT（SAS），
∴TD=TC，
在△BDT中，BT-DT＜BD，
∵BD=AB-AD=AB-AC，DT=CT，
∴BT-CT＜AB-AC．

点评：本题考查了全等三角形的判断与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了三角形三边的关系．