已知抛物线y=x2+bx+1顶点最初在x轴上.且位于y轴左侧.现将该抛物线向下平移.设抛物线在平移过程中.顶点为D.与x轴的两交点为A.B．(1)试求该抛物线的对称轴,(2)在最初的状态下.至少向下平移多少个单位.点A.B之间的距离不小于6个单位?(3)在最初的状态下.若向下平移m2个单位时.对应线段AB长为n.若w=m2-n.问m为何值时.w最小.最小值是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知抛物线y=x²+bx+1顶点最初在x轴上，且位于y轴左侧，现将该抛物线向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为D，与x轴的两交点为A，B．
（1）试求该抛物线的对称轴；
（2）在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A，B之间的距离不小于6个单位？
（3）在最初的状态下，若向下平移m²（m＞0）个单位时，对应线段AB长为n，若w=m²-n，问m为何值时，w最小，最小值是多少．

考点：二次函数图象与几何变换

专题：几何变换

分析：（1）根据抛物线与x轴的交点问题得到△=b²-4b=0，解得b=±2，由于对称轴x=-

位于y轴左侧，则b=-2，于是得到该抛物线的对称轴为直线x=-1；
（2）设在最初的状态下，至少向下平移t个单位（t＞0），点A，B之间的距离不小于6个单位，根据抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为y=（x+1）²-t，再根据抛物线与x轴的交点问题可得到点A和B的坐标为（-1-

，0），（-1+

，0），则AB=2

，根据题意得2

≥6，解得t≥9，所以抛物线至少向下平移9个单位，点A，B之间的距离不小于6个单位；
（3）根据抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为y=（x+1）²-m²，与（2）一样可得点A和B的坐标为（-1-m，0），（-1+m，0），于是可得n=2m，则w=m²-2m=（m-1）²-1，然后根据二次函数的性质求解．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²+bx+1顶点最初在x轴上，
∴△=b²-4b=0，解得b=±2，
∵对称轴x=-

位于y轴左侧，
∴b=-2，
∴该抛物线的对称轴为直线x=-1；
（2）设在最初的状态下，至少向下平移t个单位（t＞0），点A，B之间的距离不小于6个单位，
则平移后的抛物线解析式为y=（x+1）²-t，
∵当y=0时，（x+1）²-t=0，解得x₁=-1+

，x₂=-1-

，
∴点A和B的坐标为（-1-

，0），（-1+

，0），
∴AB=-1+

-（-1-

）=2

，
∵2

≥6，
∴t≥9，
∴至少向下平移9个单位，点A，B之间的距离不小于6个单位；
（3）平移后的抛物线解析式为y=（x+1）²-m²，
∵当y=0时，（x+1）²-m²=0，解得x₁=-1+m，x₂=-1-m，
∴点A和B的坐标为（-1-m，0），（-1+m，0），
∴AB=-1+m-（-1-m）=2m，即n=2m，
∴w=m²-2m=（m-1）²-1，
∴当m=1时，w最小，最小值为-1．

点评：本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了抛物线与x轴的交点问题．