Question

如图，一次函数y=-2x+12分别与x轴、y轴交于点A、B，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，且OD=2CD．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线AD的解析式；
（3）P是直线AD上的点，使△BOC的面积等于△BOC的面积，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）令x、y分别为0，即可求得A、B的坐标进而即可求得C的坐标；
（2）作CE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F，得出CE∥DF，从而求得△OFD∽△OEC，根据相似三角形的对应边成比例即可求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AD的解析式．
（3）根据已知条件列出方程，解方程即可求得P的横坐标，代入直线AD的解析式即可求得坐标．

解答：解：（1）当x=0时，y=12；当y=0时，0=-2x+12，解得x=6，
∴A（6，0），B（0，12），
∵点C是线段AB的中点，
∴点C的坐标为（3，6）；

（2）作CE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F，
∴CE∥DF，
∴△OFD∽△OEC，
∴

OD

OC

=

DF

CE

=

OF

OE

，
∵OD=2CD，C（3，6），
∴

OD

OC

=

2

3

，CE=6，OE=3，
∴DF=4，OF=2，
∴点D的坐标（2，4），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
代入A（6，0），D（2，4）得

6k+b=0 2k+b=4

解得

k=-1 b=6

，
∴直线AD的解析式为y=-x+6．
（3）∵B（0，12），
∴OB=12，
∴S_△BOC=

1

2

OB•|x_C|=

1

2

×12×3=18，
∵S_△BOC=S_△BOP，
设P的横坐标为x，
∴S_△BOP=

1

2

OB•|x|=18，
∴|x|=3，
∴x=±3，
代入y=-x+6得y=3或9，
∴P的坐标为（3，3）或（-3，9）．

点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，三角形面积以及用待定系数法求直线解析式的方法．