Question

7．如图，P是函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＞0）图象上的一点，直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$与x轴、y轴别交于A，B两点，过P作x轴、y轴的垂线与该直线分别交于C，D两点，则AD•BC=4．

Answer 1

分析 过C作CE⊥OB于E，过D作DF⊥OA于F，设P点的坐标为（a，$\frac{\sqrt{3}}{a}$）），把y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$代入直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$即可求出D点的纵坐标，同理可用a表示出C点坐标，再根据直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$的解析式求出A、B两点的坐标，再根据两点间的距离公式即可求出AD•BC的值．

解答 解：过C作CE⊥OB于E，过D作DF⊥OA于F，
设P点的坐标为（a，$\frac{\sqrt{3}}{a}$）），
∵直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$与y轴交于点B，与x轴相交于点A，
∴A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，2$\sqrt{3}$），
∵C和P点的横坐标坐标相同为a，
∴点C的纵坐标为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a+2$\sqrt{3}$，
∴点C的坐标为（a，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a+2$\sqrt{3}$），
同理可得D点的坐标为（6-$\frac{3}{a}$，$\frac{\sqrt{3}}{a}$），
∴AD=$\sqrt{（\frac{3}{a}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{a}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{a}$，BC=$\sqrt{（2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}a-2\sqrt{3}）^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴AD•BC=$\frac{2\sqrt{3}}{a}$•$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$=4，
故答案为：4．

点评 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．熟练掌握一次函数及反比例函数的性质很重要，用P点的坐标表示出C、D两点的坐标是解答此题的关键．