Question

19．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4cm，AC=acm，动点P，Q分别从点B，点C开始沿着射线BC运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．两点同时出发，当点P追上点Q时两点都停止运动，设运动时间为t秒．
（1）若a=2cm
①求两点都停止运动时，△ABQ的面积．
②是否存在t，使得△APQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（2）若刚好存在某一时刻t，使得AP，AC三等分∠BAQ，则a的值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）①根据“BP=BC+CQ”列出关于t的方程并解答即可；
②需要分类讨论：以AP为腰和以AP为底两种情况进行讨论；
（2）当AP，AC三等分∠BAQ时，AP平分∠BAC，结合角平分线定理来求a的值．

解答 解：（1）依题意得：2t-4=t，
解得t=4．
∴S_△ABQ=$\frac{1}{2}$BQ•AC=$\frac{1}{2}$×8×2=8；

（2）①当PA=PQ时，$\sqrt{（4-2t）^{2}+{2}^{2}}$=4-2t+t，
解得t₁=$\frac{2}{3}$，t₂=2．
②当AP=AQ时，4-2t=t，
解得t=$\frac{4}{3}$；
③当AQ=QP时，$\sqrt{{t}^{2}+{2}^{2}}$=4-2t+t，
解得t=$\frac{3}{2}$．
综上所述，符合条件的t的值为：$\frac{2}{3}$或2或$\frac{4}{3}$或$\frac{3}{2}$．

（3）∵AP，AC三等分∠BAQ，
∴AP平分∠BAC，
∴$\frac{BP}{CP}$=$\frac{AB}{AC}$，即$\frac{2×\frac{4}{3}}{4-2×\frac{4}{3}}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{2}^{2}}}{a}$，
整理，得
a²+4=4a²，
解得a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案是：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质．解答（2）题时，没有明确指出等腰三角形的顶点，需要分类讨论，以防漏解或错解．