Question

18．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到E，使得AE=OA，以OB，OC为邻边作?OBFC，连接OF与BC交于点H，再连接EF．
（1）如图1，若△ABC为等边三角形，求证：①EF⊥BC；②EF=$\sqrt{3}$BC；
（2）如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），猜想（1）中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；
（3）如图3，若△ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC，请你直接写出EF与BC之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得到BH=HC=$\frac{1}{2}$BC，OH=HF，再由等边三角形的性质得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，即可；
（2）由平行四边形的性质得到BH=HC=$\frac{1}{2}$BC，OH=HF，再由等腰直角三角形的性质得到AB=$\sqrt{2}$BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；
（3）由平行四边形的性质得到BH=HC=$\frac{1}{2}$BC，OH=HF，再由等腰三角形的性质和AB=AC=kBC得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4{k}^{2}-1}$BC，即可．

解答 证明：（1）连接AH，如图1，

∵四边形OBFC是平行四边形，
∴BH=HC=$\frac{1}{2}$BC，OH=HF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，AH⊥BC，
在Rt△ABH中，AH²=AB²-BH²，
∴AH=$\sqrt{B{C}^{2}-（\frac{1}{2}BC）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
∵OA=AE，OH=HF，
∴AH是△OEF的中位线，
∴AH=$\frac{1}{2}$EF，AH∥EF，
∴EF⊥BC，$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{1}{2}$EF，
∴EF⊥BC，EF=$\sqrt{3}$BC；
（2）EF⊥BC仍然成立，EF=BC，如图2，

∵四边形OBFC是平行四边形，
∴BH=HC=$\frac{1}{2}$BC，OH=HF，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$BH，AH⊥BC，
在Rt△ABH中，AH²=AB²-BH²=（$\sqrt{2}$BH）²-BH²=BH²，
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$BC，
∵OA=AE，OH=HF，
∴AH是△OEF的中位线，
∴AH=$\frac{1}{2}$EF，AH∥EF，
∴EF⊥BC，$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$EF，
∴EF⊥BC，EF=BC；
（3）如图3，

∵四边形OBFC是平行四边形，
∴BH=HC=$\frac{1}{2}$BC，OH=HF，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=kBC，AH⊥BC，
在Rt△ABH中，AH²=AB²-BH²=（kBC）²-（$\frac{1}{2}$BC^）2=（k²-$\frac{1}{4}$）BC²，
∴AH=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4{k}^{2}-1}$BC，
∵OA=AE，OH=HF，
∴AH是△OEF的中位线，
∴AH=$\frac{1}{2}$EF，AH∥EF，
∴EF⊥BC，$\frac{1}{2}$$\sqrt{4{k}^{2}-1}$BC=$\frac{1}{2}$EF，
∴EF=$\sqrt{4{k}^{2}-1}$BC．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等边三角形，等腰直角三角形，等腰三角形的性质，中位线的判断和性质，找出AH与BC的关系式解本题的关键也是难点．