Question

8．（1）阅读：已知$\sqrt{7}$b=7a+c，求证：b²≥4ac．
证明：∵$\sqrt{7}$b=7a+c，∴7a-$\sqrt{7}$b+c=0，
∴-$\sqrt{7}$是方程ax²+bx+c=0的根，
∴△=b²-4ac≥0，即b²≥4ac．
（2）设m，n为实数．
①求（mn-2n）+2（n-m）+（2m-mn）的值．
②根据（1）的解题思路，求证：（n-m）²≥（2m-mn）（mn-2n）

Answer 1

分析 ①利用整式的加减计算合并得出答案即可；
②利用（1）的结果构造一元二次方程，利用根的判别式证得结论成立．

解答 ①解：（mn-2n）+2（n-m）+（2m-mn）
=mn-2n+2n-2m+2m-mn
=0；
②证明：∵（mn-2n）×1²+2（n-m）×1+（2m-mn）=0，
∴x=1是方程（mn-2n）x²+2（n-m）x+（2m-mn）=0的根，
∴△=[2（n-m）]²-4（mn-2n）（2m-mn）≥0，
∴（n-m）²≥（2m-mn）（mn-2n）．

点评 此题考查根的判别式的运用，构造一元二次方程，进一步利用根的判别式证得结论即可．