Question

17．如图，已知AB=AC，∠BAC=∠CDE=90°，DC=DE，点F是BE的中点．求证：FA=FD且FA⊥FD．

Answer 1

分析 延长AF到G使FG=AF，由F是BE的中点，得到BF=EF，推出△ABF≌△EFG，根据全等三角形的性质得到AB=EG，∠B=∠FEG，根据四边形和三角形的内角和得到∠C=∠B+∠FED=∠FEG+∠FED=∠GED，证得△ACD≌△GED，根据全等三角形的性质得到AD=GD，∠ADC=∠GDE根据等腰三角形的性质得到AF⊥DF，根据等腰直角三形即可得到结论．

解答 解：延长AF到G使FG=AF，
∵F是BE的中点，
∴BF=EF，
在△AFB与△EFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=FG}\\{∠AFB=∠EFG}\\{BF=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△EFG，
∴AB=EG，∠B=∠FEG，
∵∠BAC=∠CDE=90°，
∴∠B+∠DEF+∠CAD+∠CDA=180°，
∵∠CAD+∠C+∠CDA=180°，
∴∠C=∠B+∠FED=∠FEG+∠FED=∠GED，
在△ACD与△GED中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=GE}\\{∠C=∠GED}\\{CD=ED}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△GED，
∴AD=GD，∠ADC=∠GDE，
∵AF=GF，
∴AF⊥DF，
∵∠GDE+GDC=∠CDE=90°，
∴∠ADC+∠GDC=90°，
即∠ADG=90°，
∴AF=DF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，四边形的内角和，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．