Question

18．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．
（1）求∠PCQ的度数；
（2）当AB=4，AP：PC=1：3时，求PQ的大小．（提示：设AP为x，在△ABC中用勾股定理构建方程求解）

Answer 1

分析 （1）由于∠PCB=∠BCQ=45°，故有∠PCQ=90°．
（2）由等腰直角三角形的性质知，AC=4$\sqrt{2}$，根据已知条件，可求得AP，PC的值，再由勾股定理求得PQ的值．

解答 解：（1）∵△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ，
∴△ABP≌△CQB，
∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45°，∠ABP=∠CPQ，AP=CQ，PB=BQ，
∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°；

（2）由（1）知，∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°；
∴∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90°，
∴△PCQ是直角三角形．
∵等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB=BC=4，
∴AC=$\sqrt{2}$AB=4$\sqrt{2}$，
∵AP：PC=1：3，
∴AP=$\sqrt{2}$，PC=3$\sqrt{2}$，
∴QC=AP=$\sqrt{2}$，
∴PQ=$\sqrt{P{C}^{2}+C{Q}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了勾股定理，等腰直角三角形．解题时，综合利用了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理求解．