Question

7．如图a，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O₁的圆心为坐标原点，一块直角三角板ABC的斜边AB在x轴上，A（-6，0），B（-5，0），∠BAC=30°，该三角板沿x轴正方向以每秒1个长度单位的速度运动，设运动时间为t
（1）当AC边所在直线与⊙O₁相切时，求t的值；
（2）当顶点C恰好在⊙O₁上时，求t的值；
（3）如图b，⊙O₂的圆心为坐标原点，半径为$\frac{1}{2}$，点T是第一象限内的动点，以T为顶点作矩形TP₁QP₂，使得点P₁、P₂在⊙O₁上，点Q在⊙O₂的内部，直接写出线段OT的取值范围．

Answer 1

分析 （1）画出图形求出点A运动的路程即可（注意两解）．
（2）有两种情形，画出图形求出点A运动的路程即可．
（3）如图4中，当P₁Q与⊙O₂相切于点Q时，连接OP₁，求出OT，如图5中，当Q与O重合时，四边形OP₂TP₁是正方形，求出此时是OT，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，直线AC与⊙O相切于点T，

在RT△AOT中，∵∠ATO=90°，OT=1，∠TAO=30°，
∴AO=2OT=2，
∴t=6-2=4秒，
根据对称性可知，t=8时，AC边所在直线与⊙O₁，
综上所述，当AC边所在直线与⊙O₁相切时，t的值为2s或8s；


（2）①如图2中，连接CO，作CM⊥OA垂足为M．
∵在RT△ABC中，AB=1，∠CAB=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$，AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$\frac{1}{2}$•AB•CM=$\frac{1}{2}$•AC•CB，
∴CM=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，AM=$\frac{3}{4}$，
在RT△COM中，OM=$\sqrt{O{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
∴AO=AM+OM=$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
∴t=6-（$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{13}}{4}$）=$\frac{21-\sqrt{13}}{4}$．

②如图3中，由①可知，OA=OM-AM=$\frac{\sqrt{13}}{4}$-$\frac{3}{4}$，
∴t=6+（$\frac{\sqrt{13}}{4}$-$\frac{3}{4}$）.$\frac{21+\sqrt{13}}{4}$
综上所述t=$\frac{21±\sqrt{13}}{4}$时，点C在⊙上．

（3）如图4中，当P₁Q与⊙O₂相切于点Q时，连接OP₁，
∵∠OQP₁=∠OP₂T=90°，
∴O、Q、P₂共线，
在RT△OQP₁中，QP₁=$\sqrt{O{{P}_{1}}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵四边形TP₁QP₂是矩形，
∴P₂T=P₁Q=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在RT△OP₂T中，OT=$\sqrt{O{{P}_{2}}^{2}+{P}_{2}{T}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，

如图5中，当Q与O重合时，四边形OP₂TP₁是正方形，此时OT=$\sqrt{2}$，
综上所述，当点Q在⊙O₂的内部时，$\frac{\sqrt{7}}{2}$＜OT≤$\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆的有关性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，第三个问题需要找到两个特殊位置确定OT的取值范围，注意点Q在⊙O₂内部这个条件，属于中考压轴题．