Question

6．边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A（0，6），D （4，6），且AB=2$\sqrt{10}$
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S_△PBD=S_梯形ABCD？若存在，请求出该点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理即可求得；
（2）根据待定系数法即可求得；
（3）连接AC，并延长使EF=AC，过F点作PF∥BD，交抛物线于P，证得△AOC是等腰直角三角形，进一步证得△BEC和△AED是等腰直角三角形，通过三角形相似求得F的坐标，根据平行线的性质和待定系数法求得直线PF的解析式，解直线PF和抛物线解析式组成的方程组即可求得P的坐标．

解答 解：（1）∵A（0，6），
∴OA=6，
在Rt△OAB中，OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{10}）^{2}-{6}^{2}}$=2，
∴点B的坐标为（-2，0）；
（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
把A（0，6），B（-2，0），D （4，6）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{c=6}\\{4a-2b+c=0}\\{16a+4b+c=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\\{c=6}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6；
（3）存在．
连接AC，并延长使EF=AC，过F点作PF∥BD，交抛物线于P，
∵OA=OC=6，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，AC=6$\sqrt{2}$，
同理：∠DBC=45°，
∴AC⊥BD，
∴△BEC和△AED是等腰直角三角形，
∵AD=4，BC=8，
∴AE=2$\sqrt{2}$，
∵AC=EF，
∴CF=2$\sqrt{2}$，
作FG∥OA，
∴△AOC∽△FGC，
∴$\frac{FG}{OA}$=$\frac{CG}{OC}$=$\frac{CF}{AC}$，
∴FG=2，CG=2，
∴F（8，-2），
由B（-2，0），D（4，6），
设直线BD的解析式为y=kx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+n=0}\\{4k+n=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{n=2}\end{array}\right.$，
设直线PF的解析式为y=x+m，
把F（8，-2）代入得，-2=8+m．解得m=-10，
∴直线PF的解析式为y=x-10，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x-10}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{97}}{3}}\\{y=\frac{\sqrt{97}-29}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{97}}{3}}\\{y=\frac{-29-\sqrt{97}}{3}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{1+\sqrt{97}}{3}$，$\frac{-29+\sqrt{97}}{3}$）或（$\frac{1-\sqrt{97}}{3}$，$\frac{-29-\sqrt{97}}{3}$）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．