Question

11．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以BA、BC为边向内作等边ABF和等边BCE，AE与CF交于G点，以下结论：①AE=CF；②∠AGC=120°；③GB平分∠AGC；④若AB=BC，则AE=2EG，其中正确的结论有（　　）

• A． ①②③
• B． ①②③④
• C． ①②④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①②③正确可以根据△ABE≌△FBC利用全等三角形的性质解决，④错误由图2证明CE是∠ACG的角平分线，利用角平分线的性质定理即可解决．

解答 解：如图1中，作BM⊥FC于⊥M，BN⊥AE⊥于⊥N，
∵△ABF，△BCE都是等边三角形，
∴BA=BF，BE=BC，∠ABF=∠EBC，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BF}\\{∠ABE=∠FBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FBC，
∴AE=CF故①正确，∠AEB=∠FCB，
∵∠AEB+∠BEC=180°，
∴∠BCF+∠BEG=180°，
∴∠EBC+∠EGC=180°，
∴∠EGC=120°，故②正确，
∴AE=CF，
∴$\frac{1}{2}$•AE•BN=$\frac{1}{2}$•CF•BM，
∴BN=BM，
∴BG平分∠AGC，故③正确，
如图2中，作GM⊥AC垂足为M，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠BCE=60°，
∴∠ACE=15°，
∵BF=BC，∠CBF=30°，
∴∠BCF=75°，
∴∠ECG=15°，
∴∠ACE=∠ECG，
∴$\frac{AE}{EG}$=$\frac{AC}{CG}$，
在RT△GMC中，∵∠MCG=30°，
∴CM：CG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵AC=2CM，
∴$\frac{AE}{EG}=\frac{AC}{GC}$=$\sqrt{3}$，故④错误．
故选A．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形的角平分线性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会证明角相等的方法，本题综合性比较强，有一定难度．