Question

对于二次函数y=x²-2ax+2a+3，分别满足下列条件，求系数a的值．
（1）函数的最小值为零；
（2）当x＞5时，y随x增大而增大，且x＜5时，y随x增大而减小；
（3）图象在x轴上截得的线段长是3．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的性质,二次函数的最值

专题：

分析：（1）可化为顶点为式求得顶点坐标，可求得最小值，令最小值为0，可求得a的值；
（2）由条件可知其对称轴为x=5，代入可求得a的值；
（3）令y=0，所得一元二次方程的两根为二次函数与x轴交点的横坐标，根据根与系数的关系可表示出两点间的线段长度，可求得a．

解答：解：（1）∵y=x²-2ax+2a+3=（x-a）²-a²+2a+3，
∴其最小值为-a²+2a+3，
令其为0，可得-a²+2a+3=0，
解得a=3或-1；
（2）由（1）可知二次函数对称轴为x=a，
∵当x＞5时，y随x增大而增大，且x＜5时，y随x增大而减小，
∴其对称轴为x=5，
∴a=5；
（3）令y=0可得x²-2ax+2a+3=0，
设该方程的两根分别为m，n，
则m+n=2a，mn=2a+3，
∴（m-n）²=（m+n）²-4mn=4a²-8a-12，
根据题意可知（m-n）²=3²=9，
即4a²-8a-12=9，解得a=

7

2

或-

3

2

．

点评：本题主要考查二次函数的最值、增减性及与一元二次方程的关系，掌握二次函数的顶点式y=a（x-h）²+k的顶点坐标为（h，k）、对称轴为x=h是解题的关键．