Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，E为AB的中点，AC是ED的垂直平分线
（1）求证：AB=BC；
（2）求证：∠DBC=∠DCB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）如图，作辅助线；证明AD=AE，CD=CE；DF=AB=2λ，CF=BC-λ；由勾股定理证明BC=2λ，即可解决问题．
（2）证明BF=CF，得到DF垂直平分BC，即可解决问题．

解答：证明：（1）如图，连接CE；过点D作DF⊥BC；
∵AC是ED的垂直平分线，
∴AD=AE，CD=CE；
∵E为AB的中点，
∴BE=AE=AD（设为λ）；
∵AD∥BC，∠BAD=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴DF=AB=2λ，CF=BC-λ；
由勾股定理得：
CE²=λ²+BC²，CD²=（2λ）²+（BC-λ）²，
∴λ²+BC²=4λ²+（BC-λ）²，
解得：BC=2λ，
∴AB=BC．
（2）∵BC=2λ，BF=λ，
∴BF=CF，即DF垂直平分BC，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB．

点评：该题主要考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理及其应用等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．