题目内容
如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，∠MPN=30°，射线PN与⊙O相切于点Q，A、B两点同时从点P出发，点A以2| 3 |
（1）求PQ的长；
（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？
考点：切线的性质,切线的判定
专题：动点型
分析：（1）连结OQ，如图1，根据切线的性质得OQ⊥PQ，在Rt△OQP中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到PO=2OQ=12cm，PQ=
OQ=6
cm；
（2）PA=2
t，PB=4t，先计算出
=
，
=
，则
=
，加上∠P=∠P，于是根据相似的判定方法即可得到△PAB∽△PQO，则∠PAB=∠AQO=90°，所以可判断AB⊥PM，然后分类讨论：当AB与⊙O第一次相切时，如图2，根据切线的性质得OA=6，由于PA=OP-OA=6，2
t=6，解得t=
（s）；当AB与⊙O第二次相切时，如图3，根据切线的性质得OA=6，由于PA=OP+OA18，2
t=18，解得t=3
（s）．
| 3 |
| 3 |
（2）PA=2
| 3 |
| PA |
| PB |
| ||
| 2 |
| PQ |
| PA |
| ||
| 2 |
| PA |
| PB |
| PQ |
| PA |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
解答：
解：（1）连结OQ，如图，
∵射线PN与⊙O相切于点Q，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△OQP中，∵∠OPQ=30°，
∴PO=2OQ=12cm，
PQ=
OQ=6
cm；
（2）PA=2
t，PB=4t，
∵
=
=
，
=
=
，
∴
=
，
而∠APB=∠QPO，
∴△PAB∽△PQO，
∴∠PAB=∠AQO=90°，
即AB⊥PM，
当AB与⊙O第一次相切时，如图2，则OA=6，
∵PA=OP-OA=12-6=6，
∴2
t=6，解得t=
（s）；
当AB与⊙O第二次相切时，如图3，则OA=6，
∵PA=OP+OA=12+6=18，
∴2
t=18，解得t=3
（s）；
即t为
s或3
s时，直线AB与⊙O相切．
解：（1）连结OQ，如图，∵射线PN与⊙O相切于点Q，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△OQP中，∵∠OPQ=30°，
∴PO=2OQ=12cm，
PQ=
| 3 |
| 3 |
（2）PA=2
| 3 |
∵| PA |
| PB |
2
| ||
| 4 |
| ||
| 2 |
| PQ |
| PA |
6
| ||
| 12 |
| ||
| 2 |
∴
| PA |
| PB |
| PQ |
| PA |
而∠APB=∠QPO，
∴△PAB∽△PQO，
∴∠PAB=∠AQO=90°，
即AB⊥PM，
当AB与⊙O第一次相切时，如图2，则OA=6，∵PA=OP-OA=12-6=6，
∴2
| 3 |
| 3 |
当AB与⊙O第二次相切时，如图3，则OA=6，
∵PA=OP+OA=12+6=18，
∴2
| 3 |
| 3 |
即t为
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了相似三角形的判定与性质．
练习册系列答案
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