Question

4．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点D是边AC的中点，点E是斜边AB上的动点，将△ADE沿DE所在的直线折叠得到△A₁DE．
（1）当点A₁落在边BC（含边BC的端点）上时，折痕DE的长是多少？（可在备用图上作图）
（2）连接A₁B，当点E在边AB上移动时，求A₁B长的最小值．

Answer 1

分析 （1）点A₁落在边BC即点A₁与点C重合，可知此时DE为△ABC的中位线，得DE=$\frac{1}{2}$BC；
（2）Rt△BCD中求出BD的长，由折叠可得A₁D=AD=1，根据A₁B+A₁D≥BD可得A₁B长的最小值．

解答 解：（1）∵点D到边BC的距离是DC=DA=1，
∴点A₁落在边BC上时，点A₁与点C重合，如图1所示．
此时，DE为AC的垂直平分线，即DE为△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=1；

（2）连接BD，DE，
在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由折叠知△A₁DE≌△ADE，
∴A₁D=AD=1，
由A₁B+A₁D≥BD，得：A₁B≥BD-A₁D=$\sqrt{5}$-1，
∴A₁B长的最小值是$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查了折叠的性质、勾股定理及三角形全等的判定与性质，关键是熟练掌握折叠变换的性质．