Question

19．如图，在等边三角形ABC中，AD是高，点G为AD的中点，过G作EF∥AC交AB于点F，交CD于点E，下列说法正确的有①③④（将你认为正确选项的序号都填上）．
①∠AGF=30°；②AD=EF；③EG=2FG；④S_△GDE=2S_△AFG．

Answer 1

分析 先根据等边三角形的性质得出∠DAC=30°，再由平行线的性质可得出∠AGF的度数；设AC=a，由直角三角形的性质求出AD的长，再由EF∥AC，G是AD的中点可求出EF的长，故可得出②错误；根据三角形中位线定理求出EG的长，进而可得出EG的长，得出③正确；过点F作FH∥BC，根据相似三角形的性质可得出FH=$\frac{1}{2}$DE，由三角形的面积公式可知④正确．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠DAC=30°．
∵EF∥AC，
∴∠AGF=∠DAC=30°，故①正确；
设AC=a，
∵∠DAC=30°，
∴AD=AC•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a；
∵点G为AD的中点，
∴GE是△ADC的中位线，
∴点E时CD的中点，
∴EF=$\frac{3}{4}$AC=$\frac{3}{4}$a，
∴AD≠EF，故②错误；
∵EF=$\frac{3}{4}$AC=$\frac{3}{4}$a，GE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$a，
∴EG=2FG，故③正确；
过点F作FH∥BC，
∵AH∥DE，
∴△FGH∽△EGD．
∵EG=$\frac{1}{2}$FG，
∴FH=$\frac{1}{2}$DE．
∵AG=GD，
∴S_△GDE=2S_△AFG，故④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查的是三角形中位线定理，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．