Question

6．如图，二次函数y=ax²-4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）．
（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；
（2）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，试求∠CAB的正切值；
（3）若在x轴上有一点P，使得点B关于直线AP的对称点B₁在y轴上，试求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把B（3，6）代入y=ax²-4ax+2，求出a的值，得到二次函数的解析式，进而求出点A的坐标；
（2）先求出抛物线的对称轴，根据对称性得出C点坐标，求出BC=2，AB=5，tan∠CBA=$\frac{4}{3}$，过点C作CH⊥AB于点H，再求出CH=$\frac{8}{5}$，AH=$\frac{19}{5}$，根据正切函数定义即可求出∠CAB的正切值；
（3）由AB=AB₁=5，从而点B₁的坐标为（0，-3）或（0，7），设P（x，0）根据PB=PB₁，分B₁的坐标为（0，-3）或（0，7）两种情况利用勾股定理求得x值．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²-4ax+2的图象过点B（3，6），
∴6=9a-12a+2，
解得a=-$\frac{4}{3}$，
所以二次函数的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x+2，
∵二次函数y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x+2的图象与y轴交于点A，
∴点A的坐标为（0，2）；

（2）∵y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x+2=-$\frac{4}{3}$（x-2）²+$\frac{22}{3}$，
∴对称轴为直线x=2，
∵点B（3，6）关于二次函数对称轴的对称点为点C，
∴C（1，6），
∴BC=2，AB=$\sqrt{{3}^{2}+（6-2）^{2}}$=5，tan∠CBA=$\frac{4}{3}$，
过点C作CH⊥AB于点H，

则CH=$\frac{8}{5}$，BH=$\frac{6}{5}$，AH=$\frac{19}{5}$，
∴tan∠CAB=$\frac{CH}{AH}$=$\frac{8}{19}$；

（3）由题意，AB=AB₁=5，从而点B₁的坐标为（0，-3）或（0，7）．
设P（x，0）．

①如果点B₁（0，7），
∵点B关于直线AP的对称点B₁在y轴上，
∴PB=PB₁，即（x-3）²+6²=x²+7²，
解得x=-$\frac{2}{3}$，即P（-$\frac{2}{3}$，0）；
②如果点B₁′（0，-3），
∵点B关于直线AP的对称点B₁在y轴上，
∴PB=PB₁，即（x-3）²+6²=x²+3²，
解得x=6，即P（6，0）；
综上所述，所求点P的坐标为（-$\frac{2}{3}$，0）或（6，0）．

点评 本题主要考查待定系数求二次函数解析式、解直角三角形、勾股定理等，求二次函数解析式是基础，构建直角三角形求三角函数值是基本做法，通过勾股定理得出点坐标间联系是关键．