Question

已知在平面直角坐标系内有一直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．
（1）若不论m为何值，直线l都经过一定点，试求这个定点的坐标；
（2）若以A（1，2）为圆心，3为半径画⊙A，求⊙A被直线l截得的最短弦长．

Answer 1

考点：垂径定理,一次函数图象上点的坐标特征,勾股定理

专题：

分析：（1）直线方程即 m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，一定经过2x+y-7=0和x+y-7=0 的交点，联立方程组可求定点的坐标；
（2）设定点为P（3，1），由于经过P点的直线l⊥AP时⊙A被直线l截得的弦最短，先求得AP，再根据勾股定理求得PC，进而求得弦BC的长，即可求得⊙A被直线l截得的最短弦长．

解答：解：（1）直线：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．
即 m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，
根m的任意性可得

2x+y-7=0 x+y-4=0

，
解得

x=3 y=1

，
∴不论m为何值，直线l都经过一定点（3，1）．

（2）设定点为P（3，1），
∵经过P点的直线l⊥AP时⊙A被直线l截得的弦最短，
∵A（1，2），P（3，1），
∴AP=

11+22

=

5

，
∵AC=3，
∴PC=

AC2-AP2

=2
∴BC=2PC=4，
∴⊙A被直线l截得的最短弦长为4．

点评：本题考查经过两直线交点的直线系方程形式，直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．