Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①$\frac{AG}{AB}$=$\frac{AF}{FC}$；②若点D是AB的中点，则AF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若$\frac{DB}{AD}$=$\frac{1}{2}$，则S_△ABC=9S_△BDF，其中正确的结论序号是（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 由△AFG∽△BFC，可确定结论①正确；由△AFG≌△AFD可得AG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC，进而由△AFG∽△BFC确定点F为AC的三等分点，可确定结论②正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质得到∠2=∠ACB由于∠ABC=90°，AB=BC，得到∠ACB=∠CAB=45°，于是得到∠CFD=∠AFD=90°，根据垂径定理得到DF=DB，故③正确；因为F为AC的三等分点，所以S_△ABF=$\frac{1}{3}$S_△ABC，又S_△BDF=$\frac{1}{2}$S_△ABF，所以S_△ABC=6S_△BDF，由此确定结论④错误．

解答 解：依题意可得BC∥AG，
∴△AFG∽△BFC，
∴$\frac{AG}{BC}=\frac{AF}{CF}$，
又AB=BC，∴$\frac{AG}{AB}=\frac{AF}{CF}$．
故结论①正确；
如右图，∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4．
在△ABG与△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{AB=BC}\\{∠BAG=∠CBD=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD，又BD=AD，
∴AG=AD；
在△AFG与△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AD}\\{∠FAD=∠FAG=45°}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFD（SAS）
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=$\sqrt{2}$AB；
∵△AFG≌△AFD，∴AG=AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC；
∵△AFG∽△BFC，∴$\frac{AG}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$，∴FC=2AF，
∴AF=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AB．
故结论②正确；
当B、C、F、D四点在同一个圆上时，
∴∠2=∠ACB
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ACB=∠CAB=45°，
∴∠2=45°，
∴∠CFD=∠AFD=90°，
∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径，
∵BG⊥CD，
∴$\widehat{DF}=\widehat{BD}$，
∴DF=DB，故③正确；
∵$\frac{AG}{AB}=\frac{AF}{CF}$，∵AG=BD，$\frac{BD}{AD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{3}$，∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{3}$，∴AF=$\frac{1}{4}$AC，∴S_△ABF=$\frac{1}{4}$S_△ABC；∴S_△BDF=$\frac{1}{3}$S_△ABF，
∴S_△BDF=$\frac{1}{12}$S_△ABC，即S_△ABC=12S_△BDF．
故结论④错误．
故选C．

点评 本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用．