Question

1．已知四边形ABCD中．E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
（一）问题初探；
如图①，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF．则DE与CF的数量关系是相等
相等；
（二）类比延伸
（1）如图②若四边形ABCD是矩形．AB=m，AD=n．且DE⊥CF，则$\frac{DE}{CF}$=$\frac{n}{m}$．（用含m，n的代数式表示）
（2）如图③，若四边形ABCD是平行四边形，当∠B+∠EGC=180°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
（三）拓展探究
如图④，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°．DE⊥CF，请直接写出$\frac{DE}{CF}$的值．

Answer 1

分析 （一）问题初探：根据正方形的性质，DE上CF，证明△AED≌DFC，即可解答；
（二）类比延伸：（1）根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可；
（2）当∠B+∠EGC=180°时，在AD的延长线上取点M，使CM=CF，则∠CMF=∠CFM．证明△ADE∽△DCM，即可解答；
（三）拓展探究：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，证△BCM∽△DCN，求出CM=$\frac{3}{4}$x，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM²+CM²=BC²，代入得出方程$（x-6）^{2}+（\frac{3}{4}x）^{2}={6}^{2}$，求出CN=$\frac{192}{25}$，证出△AED∽△NFC，即可得出答案．

解答 解：（一）问题初探：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠FDC=90°，AD=CD，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
在△AED和DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FDC}\\{∠CFD=∠AED}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌DFC，
∴DE=CF．
故答案为：DE=CF．
（二）类比延伸：
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠FDC=90°，AB=CD=m，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
∵∠A=∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$=$\frac{n}{m}$
故答案为：$\frac{n}{m}$．
（2）证明如下：
当∠B+∠EGC=180°时，如图③，在AD的延长线上取点M，使CM=CF，则∠CMF=∠CFM．

∵AB∥CD，
∴∠A=∠CDM，
∵∠B+∠EGC=180°，
∴∠AED=∠FCB，
∴∠CMF=∠AED，
∴△ADE∽△DCM，
∴$\frac{DE}{CM}=\frac{AD}{DC}$，即$\frac{DE}{CF}=\frac{n}{m}$．
（三）拓展延伸：$\frac{25}{24}$．
理由是：如图④过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，

∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，
∴∠A=∠M=∠CNA=90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴AM=CN，AN=CM，
∵在△BAD和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{AB=BC}\\{BD=BD}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△BCD（SSS），
∴∠BCD=∠A=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠MBC=∠ADC，
∵∠CND=∠M=90°，
∴△BCM∽△DCN，
∴$\frac{CM}{CN}=\frac{BC}{CD}$，
∴$\frac{CM}{x}=\frac{6}{8}$，
∴CM=$\frac{3}{4}$x，
在Rt△CMB中，CM=$\frac{3}{4}$x，BM=AM-AB=x-6，由勾股定理得：BM²+CM²=BC²，
∴$（x-6）^{2}+（\frac{3}{4}x）^{2}={6}^{2}$，
x=0（舍去），x=$\frac{192}{25}$，
CN=$\frac{192}{25}$，
∵∠A=∠FGD=90°，
∴∠AED+∠AFG=180°，
∵∠AFG+∠NFC=180°，
∴∠AED=∠CFN，
∵∠A=∠CNF=90°，
∴△AED∽△NFC，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CN}=\frac{8}{\frac{192}{25}}=\frac{25}{24}$．

点评 本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好．