Question

5．已知双曲线y=$\frac{1}{x}$（x＞0），直线l₁：y-$\sqrt{2}$=k（x-$\sqrt{2}$）（k＜0）过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），直线l₂：y=-x+$\sqrt{2}$．
（1）若k=-1，求△OAB的面积S；
（2）若AB=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，求k的值；
（3）设N（0，2$\sqrt{2}$），P在双曲线上，M在直线l₂上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则A，B两点间的距离为AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$）

Answer 1

分析 （1）将l₁与y=$\frac{1}{x}$组成方程组，即可得到C点坐标，从而求出△OAB的面积；
（2）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}y-\sqrt{2}=k（x-\sqrt{2}）\\ y=\frac{1}{x}\end{array}\right.$ 整理得：kx²+$\sqrt{2}$（1-k）x-1=0（k＜0），根据根与系数的关系得到2k²+5k+2=0，从而求出k的值；
（3）设P（x，$\frac{1}{x}$），则M（-$\frac{1}{x}$+$\sqrt{2}$，$\frac{1}{x}$），根据PM=PF，求出点P的坐标．

解答 解：（1）当k=-1时，l₁：y=-x+2$\sqrt{2}$，
联立得，$\left\{\begin{array}{l}y=-x+2\sqrt{2}\\ y=\frac{1}{x}\end{array}\right.$，化简得x²-2$\sqrt{2}$x+1=0，
解得：x₁=$\sqrt{2}$-1，x₂=$\sqrt{2}$+1，
设直线l₁与y轴交于点C，则C（0，2$\sqrt{2}$）．
S_△OAB=S_△AOC-S_△BOC=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{2}$•（x₂-x₁）=2$\sqrt{2}$；
（2）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}y-\sqrt{2}=k（x-\sqrt{2}）\\ y=\frac{1}{x}\end{array}\right.$ 整理得：kx²+$\sqrt{2}$（1-k）x-1=0（k＜0），
∵△=[$\sqrt{2}$（1-k）]²-4×k×（-1）=2（1+k²）＞0，
∴x₁、x₂ 是方程的两根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{\sqrt{2}（k-1）}{k}\\{x}_{1}•{x}_{2}=-\frac{1}{k}\end{array}\right.$，
∴AB²=（x₁-x₂）²+（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$）2
=（x₁-x₂）²+（$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$）²
=（x₁-x₂）²[1+（$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）²]
=$\frac{2（1+{k}^{2}）^{2}}{{k}^{2}}$，
∴AB=-$\frac{\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{k}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{1+{k}^{2}}{k}$=$\frac{5}{2}$，
整理得，2k²+5k+2=0，即（2k+1）（k+2）=0，解得k=-2或k=-$\frac{1}{2}$．

（3）F（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），如图：
设P（x，$\frac{1}{x}$），则M（-$\frac{1}{x}$+$\sqrt{2}$，$\frac{1}{x}$），
则PM=x+$\frac{1}{x}$-$\sqrt{2}$=$\sqrt{（x+\frac{1}{x}-\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-2\sqrt{2}（x+\frac{1}{x}）+4}$，
∵PF=$\sqrt{（x-\sqrt{2}）^{2}+（\frac{1}{x}-\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-2\sqrt{2}（x+\frac{1}{x}）+4}$，
∴PM=PF．
∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，
当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=-x+2$\sqrt{2}$，
由（1）知P（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1），
∴当P（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1）时，PM+PN最小值是2．

点评 本题考查了反比例函数综合题，涉及函数图象的交点与方程组的解的关系、三角形的面积、一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、两点间的距离公式的等知识，综合性较强．