Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB于E，BF⊥CD于F，连接AF、DE．
（1）如图1，若AB=CD，且E、F两点分别在BA和CD的延长线上，在图中找出一个与∠BFA相等的角，如：∠BFA=

 

（2）如图2，若AB≠CD，且E在BA的延长线上，F在CD上，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
（3）如图3，若AD⊥DE，AE=3AD，则tan∠BFA=

 

．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：几何综合题

分析：（1）根据等腰梯形的性质，可得∠ABC与∠DCB的关系，根据AAS，可得△BEC与△CFB的关系，根据全等三角形的性质，可得BF与CE，根据SAS，可得△BAF与△CDE的关系，根据全等三角形的性质，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得

OF

OE

=

OB

OC

，

OA

OD

=

OB

OC

，再根据相似三角形的判定，可得△OAF与△ODE△，根据相似三角形的性质，可得∠OED=∠OFA，根据余角的性质，可得答案；
（3）根据余角的性质，可得∠DAE与∠CED的关系，根据等量代换，可得∠BFA与∠EAD的关系，根据等角的正切相等，可得答案．

解答：解：（1）AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∵CE⊥AB于E，BF⊥CD于F，
∴∠BEC=∠CFB=90°，
在△BEC和△CFB中，

∠EBC=∠FCB ∠BEC=∠CFB BC=BC

，
∴△BEC≌△CFB（AAS），
∴CE=BF，∠BCE=∠CBF，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ABF=∠DCE，
在△ABF和△DCE中，

AB=DC ∠ABF=∠DCE BF=CE

，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠BFA=∠CED，
故答案为：∠CED；
（2）如图一：延长BA、CD交于O，，
（1）中的结论仍然成立，
证明：∵CE⊥AB于E，BF⊥CD于F，
∴∠CEO=∠∠FO=90°，∠O=∠O，
∴△CEO∽△BFO，
∴

OE

OF

=

OC

OB

．
∵AD∥BC，
∴△ADO∽△BCO，
∴

OA

OB

=

OD

OC

，

OC

OB

=

OD

OA

，
∴

OE

OF

=

OD

OA

，∠O=∠O，
∴△OED∽△OFA，
∴∠OED=∠OFA，
∠CED+∠OED=90°，∠BFA+∠OFA=90°，
∴∠CED=∠BFA；
（3）如图二：，
CE⊥AB于E，BF⊥CD于F，
由（2）中的结论得∠CED=∠BFA，
∵AD⊥DE，
∴∠ADE=∠CEB=90°，
由勾股定理得DE=2

2

AD，
∠EAD+∠AED=90°，∠AED+∠DEC=90°，
∴∠EAD=∠CED=∠BFA．
∴tan∠BFA=tan∠EAD=

DE

AD

=

2 2 AD

AD

=2

2

，
故答案为：2

2

．

点评：本题考查了相似形综合题，利用了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余角的性质，题目有点难度，（2）中构造出相似三角形是解题关键．