Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=20cm，BC=15cm，动点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿AB方向运动，到达点B时停止运动．过点P作AB的垂线交斜边AC于点E，将△APE绕点P顺时针旋转90°得到△DPF．设点P在边AB上运动的时间为t（秒）．
（1）当点F与点B重合时，求t的值；
（2）当△DPF与△ABC重叠部分的图形为四边形时，设此四边形的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）若点M是DF的中点，当点M恰好在Rt△ABC的内角角平分线上时，求t的值；
（4）在点P的运动过程中，图中出现多少个彼此相似但互不全等的三角形，并写出相应的t值．

Answer 1

考点：相似形综合题,角平分线的性质,矩形的判定与性质,旋转的性质,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题,分类讨论

分析：（1）由条件可得AP=4t，易证△APE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得PE=3t，由旋转的性质可得PE=PF，然后根据PF+AP=AB建立方程，就可求出t的值．
（2）先用t的代数式表示出DE长及△DPF的面积，然后证明△DGE∽△ABC，再求出△ABC的面积，然后运用相似三角形性质（相似三角形的面积比等于相似比的平方）将△DGE的面积用t的代数式表示，就可得到S与t的函数关系式．
（3）设DF交AC于点G，过点M作MH⊥AB于点H，过点M作MN⊥BC于点N，如图3，先分别用t的代数式表示出MG、MH、MN的长，然后运用角平分线的性质建立等量关系，就可求出t的值．
（4）由于点P在AB上运动，因此t的范围是0＜t＜5．可以先考虑临界位置（图1和图5）所对应的t的值，然后分情况讨论．由于△DGE和△OBF是△DPF的一部分，因此△DGE与△DPF不可能全等，△OBF与△DPF不可能全等，同样△APE与△ABC也不可能全等，只有△DGE与△OBF、△DGE与△OGC、△OBF与△OGC、△APE与△OGC、△ABC与△AGF可能全等，在讨论的过程中只要把三角形全等的所以情况都考虑到，问题就能解决．

解答：解：（1）如图1，

∵△APE绕点P顺时针旋转90°得到△DPF，
∴∠D=∠A，∠DFP=∠AEP，∠DPB=∠APE=90°，
AP=DP，EP=FP，AE=DF．
∵点F与点B重合，
∴PB=PF．
∴EP=BP．
∵AB=20，AP=4t，
∴EP=BP=20-4t．
∵∠APE=∠ABC=90°，
∴PE∥BC．
∴△APE∽△ABC，
∴

PE

BC

=

AP

AB

，
∵BC=15，AP=4t，AB=20，
∴PE=3t．
∵EP=BP=20-4t，
∴3t=20-4t．
解得：t=

20

7

．
∴t的值为

20

7

（秒）．

（2）当△DPF与△ABC重叠部分的图形为四边形时，如图2，

此时0＜t≤

20

7

．
∵PE∥BC，
∴∠DEG=∠C．
又∵∠D=∠A，
∴△DGE∽△ABC．
∴

S△DGE

S△ABC

=（

DE

AC

）²．
∵∠B=90°，AB=20，BC=15，
∴AC=25，S_△ABC=

1

2

×20×15=150．
∵DE=DP-EP=AP-EP=4t-3t=t，
∴

S△DGE

150

=（

t

25

）²．
∴S_△DGE=

6t2

25

．
∵S_△DPF=S_△APE=

1

2

AP•EP=

1

2

×4t×3t=6t²，
∴S=S_△DPF-S_△DGE=6t²-

6t2

25

=

144t2

25

．
∴S与t的函数关系式为S=

144t2

25

．其中0＜t≤

20

7

．

（3）设DF交AC于点G，过点M作MH⊥AB于点H，过点M作MN⊥BC于点N，如图3，

∵△DEG∽△ACB，
∴∠DGE=∠B=90°，

DG

AB

=

DE

AC

．
∵DE=t，AB=20，AC=25，
∴DG=

4t

5

．
∵∠APE=90°，AP=4t，PE=3t，
∴AE=5t．
∴DF=AE=5t
∵点M是DF的中点，
∴DM=FM=

1

2

DF=

5t

2

．
∴MG=DM-DG=

5t

2

-

4t

5

=

17t

10

．
∵∠MHF=∠DPF=90°，
∴MH∥DP．
∴△FNM∽△FPD．
∴

MH

DP

=

FM

FD

FH

FP

．
∴MH=

1

2

DP=2t，FH=

1

2

FP=

1

2

EP=

3t

2

．
∴PH=FH=

3t

2

．
∴HB=AB-AP-PH=20-4t-

3t

2

=20-

11t

2

．
∵∠MHB=∠B=∠MNB=90°，
∴四边形MNBH是矩形．
∴MN=HB=20-

11t

2

．
①当点M在∠A的角平分线上时，
∵MG⊥AC，MH⊥AB，
∴MG=MH．
∴

17t

10

=2t．
解得：t=0．（舍去）
②当点M在∠B的角平分线上时，
∵MH⊥AB，MN⊥BC，
∴MH=MN．
∴2t=20-

11t

2

．
解得：t=

8

3

．
③当点M在∠C的角平分线上时，
∵MG⊥AC，MN⊥BC，
∴MG=MN．
∴

17t

10

=20-

11t

2

．
解得：t=

25

9

．
综上所述：当点M恰好在Rt△ABC的内角角平分线上时，t的值为

8

3

（秒）或

25

9

（秒）．

（4）①当点F与点B重合时，如图1，

此时t=

20

7

，△APE≌△DPF，
该图中有5个三角形彼此相似但不全等，分别是△DGE、△APE（或△DPB）、△AGB、△ABC、△BGC．
②当点G与点C重合时，如图5，

∵∠ABC=∠ACF=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACF．
∴

AB

AC

=

AC

AF

．
∴AC²=AB•AF．
∴25²=20×7t
∴t=

125

28

．
此时该图中有5个三角形彼此相似但不全等，分别是△DCE、△APE（或△DPF）、△ABC、△ACF、△CBF．
③当0＜t＜

20

7

时，如图2，

此时△APE≌△DPF，
该图中有4个三角形彼此相似但不全等，分别是△DGE、△APE（或△DPF）、△AGF、△ABC．
④当

20

7

＜t＜

125

28

时，
则有△APE≌△DPF，AP=DP=4t，PF=PE=3t，AE=DF=5t，DE=t，DG=

4t

5

，EG=

3t

5

，
BF=AP+PF-AB=7t-20，GC=AC-AE-EG=25-5t-

3t

5

=25-

28t

5

．
Ⅰ．若△APE≌△OGC，如图4①，

则有GC=PE，即25-

28t

5

=3t．
解得：t=

125

43

．
此时该图中有5个三角形彼此相似但不全等，分别是△DGE、△APE（或△DPF或△OGC）、△ABC、△AGF、△OBF．
Ⅱ．若△DGE≌△OBF，如图4②，

则有GE=BF，即

3t

5

=7t-20．
解得：t=

25

8

．
此时该图中有5个三角形彼此相似但不全等，分别是△DGE（或△OBF）、△APE（或△DPF）、△ABC、△AGF、△OGC．
Ⅲ．若△OGC≌△OBF，如图4③，

则有GC=BF，即25-

28t

5

=7t-20．
解得：t=

25

7

．
此时BF=GC=5，
所以AF=25=AC，AG=20=AB．
所以Rt△ABC≌Rt△AGF（HL）．
此时该图中有4个三角形彼此相似但不全等，分别是△DGE、△APE（或△DPF）、△ABC（或△AGF）、△OGC（或△OBF）．
Ⅳ．若△DGE≌△OGC，如图4④，

则有GE=GC，即

3t

5

=25-

28t

5

．
解得：t=

125

31

．
此时该图中有5个三角形彼此相似但不全等，分别是△DGE（或△OGC）、△APE（或△DPF）、△ABC、△AGF、△OBF．
Ⅴ．当

20

7

＜t＜

125

28

，且t≠

125

43

，t≠

25

8

，t≠

25

7

，t≠

125

31

时，
此时该图中有6个三角形彼此相似但不全等，分别是△DGE、△APE（或△DPF）、△ABC、△AGF、△OGC、△OBF．
⑤当

125

28

＜t＜5时，如图6，

此时该图中有2个三角形彼此相似但不全等，分别是△APE（或△DPF）、△ABC．
综上所述：当图中出现2个彼此相似但互不全等的三角形时，t的取值范围为

125

28

＜t＜5；
当图中出现4个彼此相似但互不全等的三角形时，t的取值范围为0＜t＜

20

7

或t=

25

7

；
当图中出现5个彼此相似但互不全等的三角形时，t的取值范围为

20

7

、

125

43

、

25

8

、

125

31

、

125

28

；
当图中出现6个彼此相似但互不全等的三角形时，t的取值范围为当

20

7

＜t＜

125

28

，且t≠

125

43

、t≠

25

8

、t≠

25

7

、t≠

125

31

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、角平分线的性质、旋转的性质等知识，还重点考查了分类讨论的思想，难度系数较大，而找准临界位置并将三角形全等考虑全面是解决第四小题的关键．