Question

6．如图，四边形的顶点O在平面直角坐标系的原点，顶点A、B分别在x轴、y轴上，OB∥AC，OB=AC．
（1）求证：四边形OACB是矩形；
（2）若点E是边OA的中点，且∠OBE=∠EBF，试探究线段AF、AC、BF之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下，若BE=8，BF=10，求点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形OACB是平行四边形，再根据∠BOA=90°，得出四边形OACB是矩形；
（2）过点E作DE⊥BF，垂足为D，根据AAS证出Rt△BOE≌Rt△BDE，得出OB=BD，OE=DE，∠BED=∠BEO=$\frac{1}{2}$∠OED，再根据点E是边OA的中点，AE=DE，
在Rt△DEF和Rt△AEF中，根据HL得出Rt△DEF≌Rt△AEF，得出AF=DF，再根据矩形的性质得出线段AF、AC、BF之间的数量关系；
（3）根据∠BED=∠BEO，∠DEF=∠FEA，得出∠BEF=90°，在Rt△BEF中，设DF=x，BD=10-x，根据BE²-BD²=EF²-DF²，再根据求出x的值，再根据DE²=EF²-DF²，求出DE，从而得出点F的坐标．

解答 解：（1）证明：∵OB∥AC，OB=AC，
∴四边形OACB是平行四边形，
∵∠BOA=90°，
∴四边形OACB是矩形；

（2）过点E作DE⊥BF，垂足为D，连接EF，
∴∠BOE=∠BDE=90°，
在Rt△BOE和Rt△BDE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠BDE=90°}\\{∠OBE=∠EBF}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴Rt△BOE≌Rt△BDE，
∴OB=BD，OE=DE，∠BED=∠BEO=$\frac{1}{2}$∠OED，
∵点E是边OA的中点，
∴AE=OE，
∴AE=DE，
在Rt△DEF和Rt△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEF≌Rt△AEF，
∴AF=DF，
∵四边形OACB是矩形，
∴AC=OB，
∴BF=BD+DF=OB+AF=AC+AF；

（3）∵Rt△DEF≌Rt△AEF，
∴∠DEF=∠FEA=$\frac{1}{2}$∠DEA，
∴∠BEF=∠DEF+∠BED=$\frac{1}{2}$∠DEA+$\frac{1}{2}$∠OED=$\frac{1}{2}$（∠DEA+∠OED）=90°，
在Rt△BEF中，设DF=x，BD=10-x，
∵BE²-BD²=EF²-DF²，
∴8²-（10-x）²=6²-x²，
∴x=3.6，
∵DE²=EF²-DF²，
∴DE²=6²-3.6²，
∴DE=4.8，OA=2DE=9.6，
∴点F的坐标为（9.6，4.8）．

点评 此题考查了四边形，用到的知识点是平行四边形的判定、矩形的判定与性质、全等三角形的判定、勾股定理，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．