Question

18．在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE．
（1）请你在图1画出△BEM，使得△BEM与△BEC关于直线BE对称；
（2）若边AD上存在一点F，使得AF+CE=EF，请你在图2中探究∠ABF与∠CBE的数量关系并证明；
（3）在（2）的条件下，若点E为边CD的三等分点，且CE＜DE，请写出求cos∠FED的思路．（可以不写出计算结果）．

Answer 1

分析 （1）由题意画出图形即可；
（2）根据正方形的性质，判断出△BAF≌△BCG，再判断出△BEF≌△BEG即可；
（3）由题意表示出线段，再用EF²=DF²+DE²，列出方程，解出即可．

解答 （1）补全图形，如图1所示，

∠ABF与∠CBE的数量关系为：∠ABF+CBE=45°，
证明：如图2，

连接BF，EF，延长DC到G，使CG=AF，连接BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，
∴△BAF≌△BCG，
∴BF=BG，∠ABF=∠CBG，
∵AF+CE=EF，
∴EF=GE，
∴△BEF≌△BEG，
∴∠FBE=∠GBE=∠ABF+∠CBE，
∴∠ABF+∠CBE=45°．
（3）解：设正方形的边长为3a，AF=x，
∵点E是CD三等分点
∴EF=CG+CE=x+a，DE=2a，DF=3a-x，
在Rt△DEF中，EF²=DF²+DE²，
∴（x+a）²=（3a-x）²+（2a）²，
∴x=$\frac{3}{2}$a，
∴EF=x+a=$\frac{3}{2}$a+a=$\frac{5}{2}$，
∴cos∠FED=$\frac{DE}{EF}$=$\frac{2a}{\frac{5}{2}a}$=$\frac{4}{5}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，三角形的全等，勾股定理，三角函数，判断三角形全等（△BEF≌△BEG）解本题的关键，点E是CD三等分点的运用是解本题的难点．