Question

16．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：
（1）BE=CF；
（2）△CDF∽△BDC．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出AC=BD，AO=OC，BO=DO，推出OB=OC，求出∠ECB=∠FBC，∠BEC=∠CFB=90°，根据AAS推出△BEC≌△CFB，即可得出答案；
（2）根据矩形的性质求出∠BCD=90°，求出∠CFD=∠BCD，根据相似三角形的性质得出即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=OC，BO=DO，
∴OB=OC，
∴∠ECB=∠FBC，
∵BE⊥AC，CF⊥BD，
∴∠BEC=∠CFB=90°，
在△BEC和△CFB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECB=∠FBC}\\{∠BEC=∠CFB}\\{BC=CB}\end{array}\right.$
∴△BEC≌△CFB（AAS），
∴BE=CF；

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∵CF⊥BD，
∴∠CFD=90°，
∴∠CFD=∠BCD，
∵∠FDC=∠CDB，
∴△CDF∽△BDC．

点评 本题考查矩形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．