Question

16．如图，抛物线y=x²+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；
（3）若抛物线上有一点B，且S_△OAB=1，求点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用交点式求抛物线解析式；
（2）把（1）中解析式配成顶点式即可得到抛物线顶点坐标及对称轴；
（3）设B（t，t²-2t），根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$×2×|t²-2t|=1，则t²-2t=1或t²-2t=-1，然后分别解两个方程求出t，从而可得到B点坐标．

解答 解：（1）抛物线解析式为y=x（x-2），即y=x²-2x；
（2）因为y=x²-2x=（x-1）²-1，
所以抛物线的顶点坐标为（1，-1），对称轴为直线x=1；
（3）设B（t，t²-2t），
因为S_△OAB=1，
所以$\frac{1}{2}$×2×|t²-2t|=1，
所以t²-2t=1或t²-2t=-1，
解方程t²-2t=1得t₁=1+$\sqrt{2}$，t₂=1-$\sqrt{2}$，则B点坐标为（1+$\sqrt{2}$，1）或（1-$\sqrt{2}$，1）；
解方程t²-2t=-1得t₁=t₂=1，则B点坐标为（1，-1），
所以B点坐标为（1+$\sqrt{2}$，1）或（1-$\sqrt{2}$，1）或（1，-1）．

点评 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），对称轴直线x=-$\frac{b}{2a}$．