Question

7．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE，AE=10．
（1）在线段AC上是（填“是”或“否”）存在一点P，使得2AE•CE=AC•AP；
（2）若存在，请在下图作出点P，说明点P的位置，若不存在，请说明理由：

Answer 1

分析 过点E作EP⊥AD交AC于P，点P就是所求的点，只要证明△AOE∽△AEP，即可求解．

解答 解：（1）是．
故答案为是．
（2）过点E作EP⊥AD交AC于P，点P就是所求的点．
理由：∵△AEF是由△EFC翻折得到，
∴AO=OC，AC⊥EF，EA=EC，
∴∠AOE=∠EP=90°，
∵○EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴$\frac{AO}{AE}=\frac{AE}{AP}$，
∴AE²=AO•AP，
∴2AE•EC=2AO•AP=AC•AP．

点评 本题考查翻折变换、相似三角形的判定和性质，解决问题的关键是添加辅助线构造相似三角形，属于中考常考题型．