Question

6．如图，在等腰直角△ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为BC上的一点，且PB=PD，DE⊥AC，垂足为E．
（1）试论证PE与BO的位置关系和大小关系．
（2）设AC=2a，AP=x，四边形PBDE的面积为y，试写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性质得出OB⊥AC，即可得出PE与BO的位置关系，再利用全等三角形的判定得出△POB≌△DEP（AAS），得出PE与BO的大小关系．
（2）利用S_{四边形PBDE}=S_△ABC-S_△APB-S_△DEC，分别求出各图形面积，得出y与x之间的函数关系即可．

解答 （1）证明：∵O是等腰直角三角形ABC斜边AC的中点，
∴OB⊥AC；∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
又∵DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=∠A=45°，
∵∠PDB=∠C+∠DPE，
∴∠PDB=45°+∠DPE，
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB，
∴∠PBO+45°=45°+∠DPE，
∴∠PBO=∠DPE，
在△POB和△DEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠POB=∠PED}\\{∠OBP=∠EPD}\\{PB=PD}\end{array}\right.$，
∴△POB≌△DEP（AAS），
∴PE=BO；
故PE与BO的位置关系是PE⊥BO，大小关系是：PE=BO．                          
（2）解：∵O是等腰直角三角形ABC斜边AC的中点
∴OB=$\frac{1}{2}$AC，OB⊥AC，
∵AC=2a，
∴PE=OB=a，
∵AP=x，
∴CE=2a-a-x=a-x，
∴S_△APB=$\frac{1}{2}$x•a=$\frac{1}{2}$ax，
∵DE⊥AC，∠C=45°，DE=CE=a-x，
∴S_△DEC=$\frac{1}{2}$（a-x）²，
∴S_{四边形PBDE}=S_△ABC-S_△APB-S_△DEC，
∴y=$\frac{1}{2}$×2a×a-$\frac{1}{2}$ax-$\frac{1}{2}$（a-x）²，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$a²．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，寻找全等三角形是解题的关键，学会用分割法求四边形面积，属于中考常考题型．