Question

5．如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，⊙O的半径r=1，∠B=30°，
（1）劣弧DE的长．
（2）证明：AD=AE．
（3）求：劣弧DE、切线AD、AE所围成的面积S．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得出OD⊥AC，OE⊥AB，根据四边形内角和求得∠DOE=120°，代入公式求得即可；
（2）证得RT△AOD≌RT△AOE即可得到结论；
（3）根据S=S_{四边形ADOE}-S_扇形ODE求得即可．

解答 解：（1）连接OD、OE，则OD⊥A，COE⊥AB
∵∠B=30°∠C=90°
∴∠A=60°
∴∠DOE=120°
劣弧DE的长=$\frac{120×1•π}{180}$=$\frac{2π}{3}$；
（2）连接OA，
在RT△AOD和RT△AOE中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}\\{OA=OA}\end{array}\right.$
∴RT△AOD≌RT△AOE（HL），
∴AD=AE
（3）∵RT△AOD≌RT△AOE，
∴∠OAB=∠OAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴AE=$\sqrt{3}$OE=$\sqrt{3}$，
∴四边形ADOE的面积=2×$\frac{1}{2}$AE•OE=$\sqrt{3}$，
∵S_扇形ODE=$\frac{120π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{1}{3}$π
∴S=S_{四边形ADOE}-S_扇形ODE=$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了内切圆的性质，弧长和扇形的面积，三角形求得的判定和性质以及四边形的内角和等，熟练掌握性质定理是解题的关键