Question

13．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，O为BC的中点，以O为圆心的圆弧分别与AB，AC相切于点D，E，则图中AD，AE与$\widehat{DE}$所围成的封闭图形的面积为1-$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 首先连接OE，OD，由以O为圆心的圆弧分别与AB，AC相切于点D，E，易得四边形OEAD是正方形，然后由S_阴影=S_{正方形OEAD}-S_扇形OED，求得答案．

解答 解：连接OE，OD，
∵以O为圆心的圆弧分别与AB，AC相切于点D，E，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，
∴∠OEA=∠ODA=∠A=90°，
∴四边形OEAD是矩形，
∵OE=OD，
∴四边形OEAD是正方形，
∵在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，O为BC的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴S_阴影=S_{正方形OEAD}-S_扇形OED=1-$\frac{90×π×{1}^{2}}{360}$=1-$\frac{π}{4}$．
故答案为：1-$\frac{π}{4}$．

点评 此题考查了切线的性质、扇形的面积以及正方形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．