Question

4．如图，M、A，B，C为抛物线y=ax²上不同的四点，M（-2，1），线段MA，MB，MC与y轴的交点分别为E，F，G．且EF=FG=1．
（1）若F的坐标为（0，t），求点B的坐标（用t表示）；
（2）若△AMB的面积是△BMC面积的$\frac{1}{2}$，求直线MB的解析式．

Answer 1

分析 （1）由点M在抛物线上，把坐标代入解析式求解，确定出抛物线解析式，设出点F（0，t）用t表示出直线MB的解析式即可；
（2）由（1）的方法确定出直线MG，ME的解析式，分别和抛物线联立求出交点坐标，用点到直线的距离公式求出距离，最后用面积关系确定出t值．

解答 解：（1）∵M（-2，1）为抛物线y=ax²上，
∴4a=1，
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²，
∵F的坐标为（0，t），
∴直线MB的解析式为y=$\frac{t-1}{2}$x+t，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²，
∴$\frac{1}{4}$x²=$\frac{t-1}{2}$x+t，
∴x=-2（舍）或x=2t，
∴B（2t，t²），
（2）∵EF=FG=1，F（0，t），
∴点E（0，t-1），G（0，t+1），
∵M（-2，1），
∴直线ME的解析式为y=$\frac{t-2}{2}$x+t-1①
直线MG的解析式为y=$\frac{t}{2}$x+t+1，②
∵抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²，③
联立①③得点A（2t-2，（t-1）²），
联立②③得点C（2t+2，（t+1）²），
∵直线MB的解析式为y=$\frac{t-1}{2}$x+t，
∴点A到直线MB的距离为d₁=$\frac{|2（t-1）^{2}-2（t-1）^{2}+2t|}{\sqrt{（t-1）^{2}+4}}$=$\frac{2t}{\sqrt{{t}^{2}-2t+5}}$
点c到直线MB的距离为d₂=$\frac{2t+4}{\sqrt{{t}^{2}-2t+5}}$，
∵△AMB的面积是△BMC面积的$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{{S}_{△AMB}}{{S}_{△BMC}}$=$\frac{\frac{1}{2}MB×{d}_{1}}{\frac{1}{2}MB×{d}_{2}}$=$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{2t}{2t+4}$=$\frac{1}{2}$，
∴t=2，
∴直线MB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2．

点评 此题是二次函数性质题，主要考查了函数关系式的确定和点到直线的距离公式，解本题的关键是用t表示出的交点坐标，难点是点到直线的距离公式的应用．