Question

5．如图，电信部门计划修建一条连接B、C两地电缆，测量人员在山脚A处测得B、C两处的仰角分别是37°和45°，在B处测得C处的仰角为67°．已知C地比A地髙330米（图中各点均在同一平面内），求电缆BC长至少多少米？（精确到米，参考数据：sin37°≈$\frac{3}{5}$，tan37°≈$\frac{3}{4}$，sin67°≈$\frac{12}{13}$，tan67°≈$\frac{12}{5}$）

Answer 1

分析 过点C作经过点A的水平直线的垂线，垂足为点D，CD交过点B的水平直线于点E，过点B作BF⊥AD于点F，根据题意求出AD=CD，设AF=4x，利用正切的定义用x表示出BF，求出CE，根据正弦的定义列式计算即可．

解答 解：如图，过点C作经过点A的水平直线的垂线，垂足为点D，CD交过点B的水平直线于点E，
过点B作BF⊥AD于点F，则CD=330米，
∵∠CAD=45°
∴∠ACD=45°
∴AD=CD=330米，
设AF=4x，则BF=AF•tan37°≈4x•$\frac{3}{4}$=3x（米）
FD=（330-4x）米，
由四边形BEDF是矩形可得：BE=FD=（330-4x）米，ED=BF=3x米，
∴CE=CD-ED=（330-3x）米，
在Rt△BCE中，CE=BE•tan67°，
∴330-3x=（330-4x）×$\frac{12}{5}$，
解得x=70，
∴CE=330-3×70=120（米），
∴BC=$\frac{CE}{sin∠CBE}$=$\frac{120}{sin67°}$≈130（米）
答：电缆BC长至少130米．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确理解仰角俯角的概念、灵活运用锐角三角函数的定义是解题的关键．