Question

2．在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线AO交BC于O点，E为边AB上一点，且OE=OC，若AC=10，AB=6，求AE的长．

Answer 1

分析 先利用勾股定理计算出BC=8，再证明Rt△COF∽Rt△CAB，则OF：AB=OC：AC，设OC=x，所以OB=8-x，OF=8-x，利用相似比可计算出x=5，则OF=3，然后由勾股定理计算出CF=4，由于Rt△OBE≌Rt△OFC，所以BE=CF=4，再计算AB与BE的差即可．

解答 解：作OF⊥AC于F．
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵∠OCF=∠ACB，∠OFC=∠ABC=90°，
∴Rt△COF∽Rt△CAB，
∴OF：AB=OC：AC，
设OC=x，则OB=8-x，OF=8-x，
∴（8-x）：6=x：10，解得x=5，
∴OF=3，
在Rt△OCF中，CF=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵OA平分∠BAC，OB⊥AB，OF⊥AC，
∴OB=OF，
在Rt△OBE和Rt△OFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OF}\\{OE=OC}\end{array}\right.$，
∵Rt△OBE≌Rt△OFC，
∴BE=CF=4，
∴AE=AB-BE=6-4=2．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和角平分线的性质．