Question

7．如图．点A、B、C为⊙O上三点，AC为⊙O的直径，AB∥CD，AC=CD．连接BD交AC于点E，交⊙O于点F，AB=$\sqrt{7}$，BC=3．
（1）求线段BD的长；
（2）线段CF的长为$\frac{16}{5}$（直接填空）

Answer 1

分析 （1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，然后利用勾股定理列式求出AC，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCD=90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）连接AF，根据直径所对的圆周角是直角可得∠AFC=90°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CBD=∠CAF，然后求出△ACF和△BDC相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．

解答 解：（1）∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{7}）^{2}+{3}^{2}}$=4，
∵AC=CD，
∴CD=4，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠ABC=180°-90°=90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；

（2）如图，连接AF，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AFC=90°，
∴∠BCD=AFC=90°，
又∵∠CBD=∠CAF（同弧所对的圆周角相等），
∴△ACF∽△BDC，
∴$\frac{AC}{BD}$=$\frac{CF}{CD}$，
即$\frac{4}{5}$=$\frac{CF}{4}$，
解得CF=$\frac{16}{5}$．
故答案为：$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，作辅助线，构造出相似三角形是解题的关键．